PROPOSICIONES, CONJUNCIONES, DISYUNCIONES, IMPLICACIONES.

Publicado: junio 17, 2010 en Uncategorized

TEMARIO:

  • Forma de simbolizar una proposición.
  • Proposición simple.
  • Valor de verdad de una proposición.
  • Ejemplos.
  • Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.
  • Negación de una proposición.
  • Conjunción.
  • Valor de verdad de la conjunción.
  • Disyunción.
  • Valor de verdad de una disyunción.
  • Disyunción exclusiva.
  • Implicación o condicional.
  • Valor de verdad de la implicación.
  • Equivalencia o bicondicional.
  • Valor de verdad de la equivalencia
  • Tablas de verdad.
  • Tautologías.
  • Contradicción.
  • Funciones proposicionales.
  • Proposiciones con cuantificadores.
  • Negación de proposiciones con cuantificaciones.
  1. PROPOSICIONES:

Son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.
Para designar una proposición se utilizarían las letras minúsculas.

p, q , r, s

Ejemplo:

a. p: El pentágono tiene 6 lados.
b. q: Colombia tiene dos mares.
c. r:¿Cuál es tu nombre?.
d. s: ¡Él lo hizo!
e: t: 3/4 de 12 es 9.
f. o: Estoy de acuerdo!Observación: Las opiniones, preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones.

Proposición SIMPLE:

Es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace.
Ejemplo:      p: Hoy es jueves
q: 7 elevado a la 3=343

Valor de verdad de una proposición, (V) O (F).

Se pueden calificar como verdaderas o falsas.
Ejemplo: -4 es mayor que -3 (F)
2*π*r es la longitud de la circunferencia (V)
Hoy llueve en Medellín.
Para todas las personas que habitan en Medellín no tiene el mismo valor de verdad.

Ejercicio: Determine el valor de verdad de cada proposición simple.
  1. p: Los elefantes vuelan.
  2. q: Lina tiene 7 annos.
  3. r: Raíz cuadrada de -9 es un número real.
  4. 7 es factor de 84.
PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS


Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples ligadas por un conector
  • Es un rectángulo si y sólo si tienen 4 ángulos rectos.
  • Viajamos de día o viajamos de noche.
  • Si el perímetro aumenta, entonces el área se duplica.
  • 8 es un número par y 8 es divisible por 2.
Los conectores y, o. entonces, si y sólo si, permiten unir dos preposiciones simples.












AXIOMAS:
Son proposiciones que son verdaderas por definición.
Ejemplo: El todo es mayor que las partes
Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.
El método deductivo permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión.
En matemáticas, la deducción es un proceso concatenado de la forma:


Si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D… hasta llegar a una conclusión.


TEOREMA: Es el conjunto de hipótesis mas la demostración, hasta llegar a una conclusión.


Ejercicios: Formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples.

  • Este mes me voy a trabajar.
  • Este mes me muero de hambre.
  • Vivo en Lima.
  • Vivo en Madrid.
  • Estudio matemáticas.
  • Puedo ensenar matemáticas.
POSIBILIDADES LÓGICAS.

Una proposición simple p sólo tiene dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Dos proposiciones Simples forman una compuesta





Tres proposiciones tendrán 2 elevado a la 3 =8

En general el número de proposiciones simples que se tienen es “n”, entonces el número de posibilidades es 2 elevado a la n.


NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN


La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.
Si p es verdadero (V)
Su negación ¬p es falsa (F)
¬p se lee no p.


Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones simples:
p: Todos los números primos son pares.
q: No todos los triángulos son isóceles.
r: -15+18=7


Solución:
¬p: No todos los números primos son pares.
¬q: Todos los triángulos son isóceles.
¬r:-15+18+ 7


¿Cuál es el resultado de ¬(¬p)?
Observación: Si una proposición p es verdadera, su negación es falsa y viceversa.


LA CONJUNCIÓN (p ^ q) símbolo lógico ^.


La proposición p ^q es verdadera únicamente si p y q son verdaderas, los demás casos p y q es falsa.


Ejemlo: Juanita, podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN



LA DISYUNCIÓN

Símbolo gramatical: o
Símbolo lógico: v


La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.
Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN


DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La proposición p v q cuando únicamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa.
El número 3 o es divisor de 6 o divisor de 10.

TABLA DE VERDAD




m v n
V

La proposición m es verdadera y la proposición n es falsa luego m v n es verdadera.
Ejemplo: 18 es múltiplo de 6 ô 18 es múltiplo de 5.
p (V) ; q (F) por lo tanto p v q es verdadera.


EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN


Es una proposición compuesta por proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico:
“Si… entonces…”  que se simboliza =>. p=>q
p se denomina antecedente y q se llama consecuente.


VALOR DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN


La proposición p => q es falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los demás casos es verdadera.

TABLA DE VERDAD


OBSERVACIÓN: Todo condicional no es una implicación.
Ejemplo: Si el mar es dulce entonces 3 es un número impar.

  1. Si estudias entonces irás al paseo.
  2. Si x+3=5, entonces x=2.
  3. Si ABC es un triángulo, entonces el ángulo A mas el ángulo B mas el ángulo C es igual a 180 grados.
  4. Si ha llovido entonces las calles están mojadas.
Cada uno de estos enunciados reciben el nombre de condicional.


BICONDICIONAL Y DOBLE IMPLICACIÓN


Forma gramatical: si y sólo si
Símbolo lógico: <=>


Ejemplo: x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.
p: x es un número par.
q: x es múltiplo de 2.


p=>q ^q=>p.


VALOR DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA.


La proposición p <=> q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambar proposiciones son falsas.

TABLA DE VERDAD



Ejemplo: r <=> s : A es un polígono de 4 lados si y sólo si A es un cuadrilátero.
r es verdadera, s es verdadera.
Nota cuando el condicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son equivalentes,

Ejemplos generales:

1. Sabemos que p es falsa, q es verdadera y r es falsa. ¿Cuál será el valor de verdad de la proposición:
q =>(p ^ r) ? = F
.          .
.          .
.          .
V   =>  F = F

Luego q =>(p ^ r) = F

2. Si el valor de verdad de la preposición p => ¬q es falso. ¿Cuál será el valor de verdad de ¬q ^ p?
q => ¬q
.
.
.
V   => F
Si q es verdadera, entonces ¬q es falsa
Si ¬p es falsa, entonces p es verdadera

¬q  ^  p

F ^ V
F

Luego las proposiciones:

q=> ¬p <=> ¬q ^ p
F        V        F

Ejercicios

Completar con F o V cada una de las siguientes proposiciones. Justificar la respuesta.

a) Se sabe que p ^q es verdadera, por lo tanto el valor de verdad de ¬p => q es ____________
b) Se sabe que ¬p => q es falsa. Por lo tanto el valor de verdad de p v ¬ q es ___________
c) Se sabe que ¬p v q es falsa. Por lo tanto, el valor de verdad de p <=> q es ___________
d) Se sabe que p es falsa y ¬p <=> q es verdadera. Por lo tanto, p => ¬q es ___________

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL


Nos basaremos en el valor de verdad del condicional para poder determinar el valor de verdad del bicondicional.
Si (p <=> q) ^(q <=> p) es equivalente a p <=> q.
La proposición (p => q) ^(q => p) es lógicamente equivalente a (p <=> q) ^(q <=> p)



El bicondicional es verdadero cuando las proposiciones que interviene tienen el mismo valor de verdad.

2. Sabiendo que p es falso, q es verdadero y r falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) ¬ (p => ¬q ) <=> (p ^q)
¬ (F => F)  <=> (F ^ V)
¬ (V)      <=>  F

F  <=>  F

V
b) p => (q ^ r)
c) ¬p => (¬p ^ q)
d) (¬p ^ ¬q) => (p v r)
e) (¬q ^ r) v (q v ¬r)
f) (r ^ ¬r ) v r

3. Escribir la proposición dada en la forma si p entonces q determina su valor de verdad.
a) Los pájaros son aves.
b) Sólo las rectas no paralelas se cortan.
c) Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

SIGNOS DE PUNTUACIÓN O AGRUPACIÓN
  1. Los paréntesis ( ).
  2. Los corchetes [ ].
  3. Las llaves { } son signos de puntuación o agrupación cuya función en el lenguaje corriente es separar unas proposiciones de otras.
Ejemplo: En la proposición compuesta:
a) p ^ ( q v r) ; ^ es el conector principal.
b) p => (p v r) ; => es el conector principal.
c) p => (p ^ r) ; => es el conector principal
Ejemplo: Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes.

a) 2 es número par y 21 es múltiplo de 3 o 5 es la raíz cuadrada de 10.
Solución:
  • p: 2 es número par.
  • q: 21 es múltiplo de 3.
  • r: 5 es la raíz cuadrada de 10.
(p ^ q) v r

b) Si 5 multiplicado por 12 es 60, y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez.
Solución:
  • p: 5 es multiplicado por 12 es 60.
  • q: 3 es el cuadrado de 9.
  • r: estudio.
  • s: juego ajedrez.
(p ^ q) => (r v s)

VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Ejemplo: Supongamos que se quiere determinar que la proposición (¬p ^ q) es equivalente a (p => ¬r) suponiendo que:
  • p: es falsa.
  • q: es verdadera
  • r: es verdadera
p, q, r, (¬p ^ q) <=> (p => ¬r).

TABLAS DE VERDAD


Son utilizadas para establecer el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Ejemplo: Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(p ^ q) v ¬(q <=> p)
b) [(p => q) ^ p] => q


A v B


TAUTOLOGÍAS

Es una proposición compuesta siempre verdadera, sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.
Ejemplos:
Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes proposiciones compuestas son tautologías.
  1. p v ¬p.
  2. [p ^ (p => q)] => q.
  3. (p v q) <=> (q v p).
  4. (p => q) <=> (¬q => ¬p).
  5. [(p => q) ^ (q => r)] = (p => r).
CONTRADICCIONES

Es una proposición compuesta siempre falsa sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones que la componen.
Ejemplo: Comprobar que la proposición (p ^ ¬p) es una contradicción.

¬(p v q) ^ ¬(q => p)


Nota: Cuando en la tabla de verdad de una proposición aparecen valores (V) y (F) se dice que la proposición es incierta o indeterminada.

Ejercicio:
Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones  y decir en casa caso si se trata de una tautología, una contradicción o una indeterminación.

a) ¬(p => ¬q) <=> (p ^ q).
b) (p ^ ¬q) <=> (¬p v q).
c) p => (q ^ r).
d) ¬p => (¬p ^ q).
e) (¬p ^ ¬q) => (p v q).
f) (p => q) => ¬p.
g) (¬q ^ r) v (q v ¬r).
h) (r ^ ¬r) v r.

LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las siguientes proposiciones constituyen unos axiomas conocidos como leyes tautológicas.

AXIOMA 1 Leyes de Idempotencia

Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:
a) (p v p) <=> p
b) (p ^ p) <=> p

Quiere decir que p v p y p ^ p se sustituye por p.

AXIOMA 2 Leyes de identidad para “o” y para “y” (^ , v).

a) p v (V) <=> V
b) p ^ (F) <=> F
c) p ^ (V) <=> P ————> El valor de verdad de la conjunción y disyunción v , ^ depende
del valor de p.

AXIOMA 3 Leyes de conmutativas

Si p y q son proposiciones, entonces:
a) (p v  q) <=> (q v p)
b) (p ^ q) <=> (q ^ p)
Se pueden escribir en cualquier orden.

AXIOMA 4 Ley asociativa

Si p , q , r son proposiciones cualesquiera, entonces:
a) (p ^ q ) ^ r <=> p ^ (q ^ r)
b) p v (q v r) <=> (p v q) v r.

AXIOMA 5 Ley distributiva

Si p , q, r son proposiciones cualesquiera, entonces:
a) [p ^ (q v r)] <=> [(p ^ q) v (p ^ r)]
b) [p v (q ^ r)] <=> [(p v q) ^ (p v r)]

AXIOMA 6 Ley de doble negación.

Si p es una proposición cualquiera, entonces:
¬(¬p) <=> v
Al negar dos veces una proposición, obtenemos una afirmación.

AXIOMA 7 Ley del tercero excluido.

(p v ¬p) <=> V
P “o” no p siempre es verdadera. independientemente del valor de p.

AXIOMA 8 Ley de contradicción

Si p es una proposición cualquiera, entonces:
(p ^ ¬p) <=> F




AXIOMA 9 Leyes de Morgan

Si p y q son proposiciones simples , o compuestas, entonces:
a) ¬(p ^ q) <=> (¬p v ¬q)
b) ¬(p v q) <=> (¬p ^ ¬q)

Negar una conjunción o una disyunción consiste en cambiar “v”o “^” y negar las proposiciones dadas.

AXIOMA 10 Definición alterna del condicional

Usando tablas de verdad podemos verificar que
p =>q <=> ¬p v q

Ejemplo de las leyes de Morgan:

Para negar la proposición 7 es un número primo y 30 es divisible por 5, cambiamos “y” por “o” y negamos proposiciones simples que forman el enunciado.
7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5.

Ejemplo: Escribir sin condicional las proposiciones siguientes:
a) (p ^ q) => r
b) p => (¬p v ¬p)
c) ¬p => ¬q

Solución:

a) (p ^ q) => r   ;  p => q <=> ¬p v q
(p ^ q) = A
A => r
¬A v r
¬(p ^ q) v r

b) p => (¬q v ¬r)
p = A

(¬q v ¬r) = B
¬A v B
¬p v(¬q v ¬r)

c)  ¬p => ¬q <=> ¬(¬p) v ¬q
¬p => ¬q <=> p v ¬q

Ejemplo:
Escribir una proposición a: si x es par entonces x es divisible por 2.
p: x es par
q: x es divisible por 2
p => q <=> ¬p v q
x no es par o x no es divisible por 2.

Ejemplo:
Probar que p => q <=> ¬p v q

Aplicaciones de las leyes proposicionales.

Ejemplo: Probar que ¬(p => q) <=> [p ^ (¬q)]
¬(p => q) <=> ¬(¬p v q) ———- AX 10
¬(p => q) <=> ¬(¬p) ^ ¬q ———Ley de M
¬(p => q) <=> p ^ q

Ejemplo:
(p ^ q) => p es tautología
(p ^ q) => p <=> ¬(p ^ q) v p  ———A 10
(p ^ q) => p <=> (¬p v ¬q) v p  ——– L de M
(p ^ q) => p <=> (¬p v p) v ¬q  ——–Ley conmutativa
(p ^ q) => p <=> [V] v ¬q ————-Ley del tercero excluido.
V Ley

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Comentarios
  1. FERNANDO dice:

    GRACIAS ME SIRVIO DE MUCHO

  2. yohansel dice:

    exelente tu pagina me acabas de salvar la vida

  3. CARLOS dice:

    MUY BUENA PAGINA

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